Обменные студенты, как правило, слушают курсы регулярных образовательных программ (чаще всего, программ бакалавриата и магистратуры) принимающего университета. Только очень редко планируются специальные наборы курсов для приезжающих на короткий срок студентов университетов-партнеров. Поэтому, чтобы понять, какие курсы Вам предложат, просто посмотрите сайты обычных образовательных программ университета-партнера. Обратите внимание, что на уровне магистратуры часто предлагаются курсы на английском языке, а вот на уровне бакалавриата большинство курсов – на языке того государства, в котором расположен университет (к редким исключениям относится университет Люксембурга). Подробнее на https://careerology.ru/vozmozhnosti/.
Обмен студентами происходит на уровне университетов, и, конечно, не всегда означает, что каждому студенту, поехавшему в одном направлении, должен найтись «парный студент» принимающего университета, который бы согласился поехать в противоположном направлении (впрочем, условия соблюдения баланса между входящей и исходящей мобильностью имеются в некоторых предметных соглашениях по математике). Требования к обменным студентам включают обязательство прослушать и сдать определенное число курсов. Каждый студент подает заявку исключительно на свою поездку.
А вот программы научных стажировок не предполагают (но и не запрещают) посещение учебных занятий. Стажировки в области математики – это научная работа под руководством ученого из принимающего университета или научного центра. Поэтому главное при планировании стажировки – выбрать потенциального руководителя и договориться с ним (ней).